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O jogo abaixo é um jogo de ligar peças iguais, que estão próximas ou que há um espaço entre elas. Você não conseguirá ligar duas peças que estão separadas por outras peças diferentes, você precisará prestar bastante atenção e ser ágil para passar de fases.
Instruções: Use o mouse para ligar as peças
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mas que boba nao tem jogs de sexo e tudo infatis eu i a galera queria ver homes pelados as picas gostosas nao ver priqitas secas fedorentas e cheia de cabelos e sebo kakkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk qui legal escreve isso ta filhas da putasssss
ana disse:
oi ea mvafsf
belesinha disse:
or que coisa mas ruim que ja vir kkkkkkkkkkkkkkk ruim que coisa . ruimmmmmmmmmmmmmmmm
jessica disse:
esse jogo È legal e eu adoro matematica
virhoria disse:
jogo é pesimoooooooooooooooooooo kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
juliete disse:
eu sou linda de mais beijos para todos
juliete disse:
raisa disse:
voces sao manes
livia ferreira disse:
bommm deee maiiiiisssssss
livia disse:
a eu quero sexo
disse:
fgfg
camila disse:
falar o serio e chato de mais
daniel disse:
disse:
voce nao tem jogos de sexo que boba
jeniffer disse:
oi quimasa oxe e muito bom kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kezia disse:
Que jogo irritante que coisa mais chata nao tao chata muito infantil
Que jogo irritante que coisa mais chata nao tao chata mais muito infantil
kaique disse:
chato demais
luisa disse:
acho isso uma porcaria isso e pra nene eu tenho 13 anos bjs
disse:
que bosseta
thamires disse:
lorena disse:
disse:
jessica disse:
esse jogo é muito ruim
lidyane disse:
oie tudo bem com vc
fernaNDA disse:
olhe pra direita 5 vezes 2-pisque o oho 8 vezes 3-faça um pedido 4-mande isso pra 4 jogos e vai aparece 20 reaisem baixo do teclado
igor disse:
felipe disse:
CASSANDRA disse:
claudia disse:
legal zinho
disse:
larissa disse:
ai qui coisa chata nunca vi uma coisa tão chata como isso. isso é pra bebe eu tenho 10 anos era pra mim gostar mais nao gostei de por caria nem uma......bjs
érica disse:
é bem legal
aline priscila disse:
eu adorei ese jogos de papa jogos sao encrives beijooooooooooooooooos
gabriel fenando disse:
natalia disse:
o meu jogo me carregou ficou la parado
emely disse:
adorei e senpre vou jogos
lauane disse:
disse:
juliana disse:
papa jogos e um ema coisa boba e chata eu naÔ gosto
mais tatudo bein a e que xato
iolanda disse:
disse:
que jogo chato rsrsrrsrsrrsrsrsrrsrsrsrsrs
disse:
kamilly disse:
que jogo xato
raquel disse:
eu achei muito legal,mas não é tão legal quanto a novela REBELDE.beijos déborah
Déborah disse:
eu adorei é d ,é muito DAORA,beijos.
ana luia disse:
disse:
kkkkkkkkkkk
ELISA disse:
É MANERO AMEI
danielly disse:
nao gosteiiiiii
sara quistina rodiges disse:
melhor jogos que eu ja jogei
lua blanco disse:
nen vou falar nada
gean douguas de oliveira disse:
kkkkkkkkkkkkkk e legau joga ne´ ate´ amanha ta´ amiguinhos
pedro disse:
eu odiei esteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee jogo
ana lesley disse:
muito bom.adorei
leticia disse:
1 olhe para a direita 2 pisque 8 vezes 3 faça um pedido 4 depois mande isso para 4 jogos e vai aparecer 20 reais debaixo do teclado
Puts!!! porra perdi meu tempo esse jogo é uma verdadeira BOSTA não tinha nada pior para enventar é? ...........................
Por acaso adorro (((Alguns jogos))) do papa jogos Bjos e thau thau
diego disse:
nx rwn qjtm3\y\kkt k3e
duda disse:
duda
giovanna disse:
joana disse:
disse:
IZABELLE disse:
ester disse:
Ele demora muito
NAO GOSTEI
denivaldo disse:
stefani disse:
legal legal legal
rayane disse:
disse:
isabella disse:
onde acha jojos da barbie de veterinaria e medicina e medicina veterinaria
eduarad disse:
cristina disse:
vfmkgeojpx°°°°°°°°°°°°r,nojgtrljnhyktuil8o9jyhghg
ISABELLY disse:
lavinia disse:
e muito legao vio beijooooooooooooooooooooooos
???...
´pucca disse:
ñ gostei desse jogo ele demora muito
ISABELLE disse:
onde encontramos jogos da barbie escola de princesas no papa jogos?
bjs!!!!!!!
eu gosto muito do papa jogos
julia disse:
jo disse:
nailana disse:
kihljk
ta disse:
cati
dofelipe
heçder disse:
Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são chamados de termos da progressão.
Observe os exemplos:
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.
145, 159, 173, 187, 201
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11
Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.
Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.
Símbolos usados nas progressões
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.
Veja alguns exemplos
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.
Observe os exemplos:
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:
a2 – a1 = 15 – 20 = -5
a3 – a2 = 10 – 15 = -5
a4 – a3 = 5 – 10 = -5
Classificação das progressões aritméticas
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.
Exemplo:
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Exemplo:
pa1.jpg
Determine x para que a seqüência (3 x, 5x, 2x 11) seja PA.
5x – ( 3 x ) = 2x 11 – 5x
5x – 3 – x = 2x 11 – 5x
5x – x – 2x 5x = 11 3
7x = 14
x = 14/7 = 2
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 (n – 1).r
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?
a61 = 9 (61 – 1).4
a61 = 9 60.4 = 9 240 = 249
Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3
an = a1 ( n – 1 ).r
a8 = a1 (8 – 1 ).r
a8 = a1 7r
3 = 2 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3
an = a1 (n – 1).r
136 = 4 (n – 1).3
136 = 4 3n – 3
3n = 136 – 4 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar a razão da PA tal que:
a1 a4 = 12 e a3 a5 = 18
a4 = a1 (4 – 1).r a3 = a1 (3 – 1).r a5 = a1 4r
a4 = a1 3r a3 = a1 2r
a1 a1 3r = 12
a1 2r a1 4r = 18
2a1 3r = 12
2a1 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7 = a1 6r
25 = 1 6r
6r = 24
r = 24/6
r = 4
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
Representação genérica de uma PA
PA de três termos:
(x, x r, x 2r)
ou
(x – r, x , x r), em que a razão é r
PA de quatro termos:
(x, x r, x 2r, x 3r)
ou
(x – 3r, x – r, x r, x 3r), em que a razão é 2r
Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:
pa2.jpg
Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).
a30 = a1 (30 – 1).r
a30 = a1 29r
a30 = 4 29.5 = 149
pa3.jpg
Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).
an = 2 (n – 1).8
an = 2 8n – 8
an = 8n – 6
pa4.jpg
Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).
pa5.jpg
Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).
O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.
294 = 105 (n – 1).7
294 = 105 7n – 7
7n = 294 – 105 7
7n = 196
n = 196/7 = 28
pa6.jpg
Progressão geométrica
Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.
Observe estes exemplos:
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.
5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.
3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10
Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.
2, 12, 72, 432, 2592
Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.
4,20,100,500
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.
3,30,300,3000,30000,300000
a6 = 300000
Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.
-90,270,-810,2430,-7290
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.
q = 30/180 = 3/18 = 1/6
A razão é 1/6
pa7.jpg
Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.
pa8.jpg
Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).
pa9.jpg
Determinar a razão da PG tal que:
pa10.jpg
Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).
pa11.jpg
Determinar a razão da PG tal que:
pa12.jpg
Representação genérica de uma PG:
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;
(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;
(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.
pa13.jpg
Soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:
Se q = 1, então Sn = n.a1
pa15.jpg
Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).
pa14.jpg
Exercícios resolvidos de PA e PG
Dada a PA (a b,5a – b,...) determine seu 4º termo.
r = 5a – b – (a b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b
apa2.jpg
apa1.jpg
A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é:
Solução:[
Sendo C o capital inicial, temos:
C,1,1C, (1,1)²C,...
Logo a razão q é dada por:
q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
PRODUTOS NOTÁVEIS
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
LOGARITMOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
NÚMEROS COMPLEXOS
FUNÇÃO DO 2° GRAU
quimsigaud.blog.uol.com.br
Aulas particulares de matemática entrar em contato pelo e-mail
quimsigaud@uol.com.br
Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
Campos do Jordão - SP
disse:
papa jogos
disse:
é voces nao sabe jogar
luisa ladeira disse:
QUE JOGO CHATO MINHA Cabeça ta doendo !!!!!!!!!!!! puts porra........e tudo mais
dienifer disse:
io amiga dimais
andrielle disse:
disse:
VICTOR disse:
ECA NAÕ TENHO SERTEZA SE ESTAVA BEM DA CABEÇA QUANDO ENTREI NESTES JOGOS
gabi disse:
disse:
ALLYSSON disse:
EU DETESTO ESSE TAL DE PAPA JOGOS
disse:
jessica corintilhana disse:
e ruim de mais esta porcaria e jogos
GTJGBJFFYGYGUYG disse:
anoka 23 disse:
que amore esses bonequinhoa rsrsrsrrsrsrsrsrsrrs
raquel disse:
este jogo é chato de mais
vi disse:
leeegalllllllllllllllll
poliana disse:
marcela disse:
oi tubeqce
thaiane disse:
amei esse jogo,ele é muito bom de joga,mas apenas nas horas vagas!
eu gostei muiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiito desse jogo ele e massa ele e radical
raissa disse:
estes jogos são irados
disse:
aninha disse:
leonardo disse:
jogos de futebol sao eu sou muito bom niso sou viciado
maria eduarda disse:
eu adorei essesis jogos e vc se vc gostou asese www.provou gostou.com.br/jogos da barbie .
caio disse:
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natali disse:
daniielaa disse:
Ana Caroline disse:
adorei estes jogos da barbie
e tambem este site de jogos é maneiroooooo
robson disse:
ELIA N disse:
gleydson disse:
guilherme disse:
kkkjjngnbfbn nbhgv jfnj disse:
lktoilktoijtutkjitukjikjtiujtugjhuytjuugyhtjhguuytjhuutyugjhjhjgjjgjngkjbmngjfhnfhmnbjhgmnjbhgmnjhbmngkjgnmnvjhgnjhfnhfhgfnbnvhhhhfhhfmnjhvmnkjfjhmnfjhgmnjb mngjhjg mg m mmg gjkgjhnnngmnngmjmgkjtmn22212362023636jjjjnnnnnnnnnnnnnjjnfhfjjgkjgolrkoirkjiurj vnjhmnmfjhmnjfhnbhgfnbvhhfjfjjhf mnvjhfnbhgfnbhf vhhbff
f
g nfujdny
Que jogo irritante que coisa mais chata nao tao chata mais muito infantil
mais tatudo bein a e que xato
1-olhe 5 vezes para a direita
2-pisque 8 vezes
3-faça um pedido
4-mande isso para 4 jogos e vai aparecer 20,00r$ debaixo do teclado
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Por acaso adorro (((Alguns jogos))) do papa jogos Bjos e thau thau
NAO GOSTEI
???...
bjs!!!!!!!
eu gosto muito do papa jogos
dofelipe
Observe os exemplos:
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa PA.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos dessa PA.
145, 159, 173, 187, 201
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11
Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.
Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.
Símbolos usados nas progressões
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado por an.
Veja alguns exemplos
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.
Observe os exemplos:
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:
a2 – a1 = 15 – 20 = -5
a3 – a2 = 10 – 15 = -5
a4 – a3 = 5 – 10 = -5
Classificação das progressões aritméticas
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.
Exemplo:
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Exemplo:
pa1.jpg
Determine x para que a seqüência (3 x, 5x, 2x 11) seja PA.
5x – ( 3 x ) = 2x 11 – 5x
5x – 3 – x = 2x 11 – 5x
5x – x – 2x 5x = 11 3
7x = 14
x = 14/7 = 2
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 (n – 1).r
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?
a61 = 9 (61 – 1).4
a61 = 9 60.4 = 9 240 = 249
Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3
an = a1 ( n – 1 ).r
a8 = a1 (8 – 1 ).r
a8 = a1 7r
3 = 2 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)
a1 = 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3
an = a1 (n – 1).r
136 = 4 (n – 1).3
136 = 4 3n – 3
3n = 136 – 4 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar a razão da PA tal que:
a1 a4 = 12 e a3 a5 = 18
a4 = a1 (4 – 1).r a3 = a1 (3 – 1).r a5 = a1 4r
a4 = a1 3r a3 = a1 2r
a1 a1 3r = 12
a1 2r a1 4r = 18
2a1 3r = 12
2a1 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7 = a1 6r
25 = 1 6r
6r = 24
r = 24/6
r = 4
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
Representação genérica de uma PA
PA de três termos:
(x, x r, x 2r)
ou
(x – r, x , x r), em que a razão é r
PA de quatro termos:
(x, x r, x 2r, x 3r)
ou
(x – 3r, x – r, x r, x 3r), em que a razão é 2r
Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
1 2 3 4..................................97 98 99 100
4 97 = 101
3 98 = 101
2 99 = 101
1 100 = 101
Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1 2 3 4 .......................... 97 98 99 100 = 50.101 = 5050
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética qualquer:
pa2.jpg
Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).
a30 = a1 (30 – 1).r
a30 = a1 29r
a30 = 4 29.5 = 149
pa3.jpg
Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).
an = 2 (n – 1).8
an = 2 8n – 8
an = 8n – 6
pa4.jpg
Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).
pa5.jpg
Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).
O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.
294 = 105 (n – 1).7
294 = 105 7n – 7
7n = 294 – 105 7
7n = 196
n = 196/7 = 28
pa6.jpg
Progressão geométrica
Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.
Observe estes exemplos:
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.
5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.
3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10
Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.
2, 12, 72, 432, 2592
Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.
4,20,100,500
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.
3,30,300,3000,30000,300000
a6 = 300000
Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.
-90,270,-810,2430,-7290
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.
q = 30/180 = 3/18 = 1/6
A razão é 1/6
pa7.jpg
Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.
pa8.jpg
Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).
pa9.jpg
Determinar a razão da PG tal que:
pa10.jpg
Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).
pa11.jpg
Determinar a razão da PG tal que:
pa12.jpg
Representação genérica de uma PG:
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;
(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;
(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.
pa13.jpg
Soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:
Se q = 1, então Sn = n.a1
pa15.jpg
Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).
pa14.jpg
Exercícios resolvidos de PA e PG
Dada a PA (a b,5a – b,...) determine seu 4º termo.
r = 5a – b – (a b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b
apa2.jpg
apa1.jpg
A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é:
Solução:[
Sendo C o capital inicial, temos:
C,1,1C, (1,1)²C,...
Logo a razão q é dada por:
q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
EQUAÇÃO DO 1° GRAU
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU
PRODUTOS NOTÁVEIS
EQUAÇÃO DO 2° GRAU
LOGARITMOS
TRIÂNGULO RETÂNGULO
NÚMEROS COMPLEXOS
FUNÇÃO DO 2° GRAU
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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
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